Nasceu em Santa Rita do Passa Quatro-SP em 7 de setembro de 1950. Graduou-se pela Faculdade de Medicina da USP, em Ribeirão Preto, em 1974. Nessa instituição, fez residência médica, mestrado e doutorado em Clínica Médica e atuou como docente de 1985 a 1989. Entre 1987 e 1989 cumpriu estágio de pós-doutorado na Yale School of Medicine, Yale University, EUA, onde participou de pesquisas sobre alterações moleculares em doenças hereditárias dos glóbulos vermelhos. Em 1990, ingressou no Departamento de Clínica Médica da Faculdade de Ciências Médicas da Unicamp (FCM), até chegar ao cargo de professor titular em Hematologia e Hemoterapia. Também coordenou o Laboratório de Biologia Molecular e de Hemoglobinopatia, além de dirigir a FCM entre 1994 e 1998. Costa é membro da Academia Brasileira de Ciências e recebeu a Ordem Nacional do Mérito Científico em 2008. Na administração central da Universidade, foi pró-reitor de Pesquisa, coordenador geral e, entre 2009 e 2013, exerceu o mandato de reitor, após vencer a consulta à comunidade universitária e ser nomeado pelo governador.